[Ch2] Ensembles
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[Ch2] Ensembles
Les ensembles:
I]Caractérisations et inclusions:
- Un ensemble peut être (parfois) défini de plusieurs façon, entre-autre:
- En extension: en "citant" ses éléments:
exemples: - F = {1;2;3}
- P+ = {0;2;4;6;8;10;...}
- En compréhension: par une propriété:
exemples: - F = {x ∈ ℕ; 0 < x < 4}
- P+ = {2n; n ∈ ℕ}
- ℝ = {-∞; +∞}
exemples:
- On note ∅ ou {} l'ensemble vide, qui ne contient aucun éléments.
- ℕ l'ensemble des entiers naturels: ℕ = {1;2;3;4...}
ℤ l'ensemble des entiers relatifs: ℤ = {...; -3; -2; -1;0;1;2;3;...}
ℚ l'ensemble des rationnels: -1/4 = -0,25 ∈ ℚ
ℝ l'ensemble des réels: pi ∈ ℝ tout comme √2 ∈ ℝ
ℂ l'ensemble des nombres complexes: représentés par a+ib avec i ∈ ℂ
Notation et définition: Soient A et B deux ensembles.
On note A ⊂ B et on dit que "A est inclus dans B" ou "B contient A" si tout élément de A est aussi un élément de B.
exemple: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ
Dernière édition par Thomas le Jeu 13 Oct - 12:52, édité 2 fois
Re: [Ch2] Ensembles
II]Opérateurs:
Soit E un ensemble et A, B et C trois sous-ensembles de E
Soit E un ensemble et A, B et C trois sous-ensembles de E
- Complémentaire:
On appelle complémentaire de A dans E et on note CE(A) ou C(A),
l'ensemble défini par: CE(A) = {x ∈ E; x ∉ A} - Intersection:
On appelle intersection de A et B, on note A ⋂ B et on lit "A inter B" l'ensemble des éléments appartenant à A et à B. - Réunion:
On appelle intersection des ensembles A et B, on note A ∪ B et on lit "A union B" l'ensemble des éléments appartenant à A ou à B. - Différence:
On note A\B ou A - B et on lit "A privé de B" ou "A moins B" l'ensemble des éléments qui appartiennent à A et non à B.
A\B = {x ∈ E; x ∈ A et x ∉ B} - Différence symétrique:
On appelle différence symétrique des ensembles A et B, on note AΔB ou A⊕B.
A⊕B = A Δ B = A ∪ B - A ⋂ B
propriété: A Δ B = (A\B) ∪ (B\A) ou A Δ B = (A∪B) \ (B∪A) - Propriété caractéristique du complémentaire:
B = ¬A <=> A ⋂ B = ∅ et A ∪ B = E - Propriété de la réunion et de l'intersection:
- Commutativité:
- Associativité:
- Distributivité:
- Idem potence
- Absorption:
- De Morgan:
- Etc:
Dernière édition par Thomas le Jeu 13 Oct - 12:52, édité 3 fois
Re: [Ch2] Ensembles
III]Produit cartésien:
Soient A et B deux ensembles.
Définition et notation: on appelle produit cartésien de A par B et on note AxB l'ensemble des couples dont le premier composant appartient à A et le deuxième appartient à B.
A x B = {{x;y}; x ∈ A et y ∈ B}
ℝ x ℝ = ℝ² = {{x;y}; x ∈ ℝ et y ∈ ℝ}
Remarque: le produit cartésien n'est pas commutatif.
Cardinal: propriété: si A et B sont deux ensembles finis.
alors Card(A x B) = Card(A) x Card(B)
x -> produit cartésien
x -> multiplication
Soient A et B deux ensembles.
Définition et notation: on appelle produit cartésien de A par B et on note AxB l'ensemble des couples dont le premier composant appartient à A et le deuxième appartient à B.
A x B = {{x;y}; x ∈ A et y ∈ B}
ℝ x ℝ = ℝ² = {{x;y}; x ∈ ℝ et y ∈ ℝ}
Remarque: le produit cartésien n'est pas commutatif.
Cardinal: propriété: si A et B sont deux ensembles finis.
alors Card(A x B) = Card(A) x Card(B)
x -> produit cartésien
x -> multiplication
Dernière édition par Thomas le Jeu 13 Oct - 12:52, édité 1 fois
Re: [Ch2] Ensembles
IV]Ensemble des parties d'un ensemble:
Soit E un ensemble.
On appelle ensemble des parties de E et on note P(E) l'ensemble des sous-ensembles de E
exemple: B = {a;b;c}
P(B) = {∅; {a}; {b}; {c}, {a;b}; {a;c}; {b;c}; B}
propriété: Si E est un ensemble fini (de cardinal fini),
alors Card[P(E)] = 2Card(E)
Remarque: P(∅) = {∅}
car Card(∅) = 0 et Card({∅}) = 2Card(∅) = 20 = 1
Soit E un ensemble.
On appelle ensemble des parties de E et on note P(E) l'ensemble des sous-ensembles de E
exemple: B = {a;b;c}
P(B) = {∅; {a}; {b}; {c}, {a;b}; {a;c}; {b;c}; B}
propriété: Si E est un ensemble fini (de cardinal fini),
alors Card[P(E)] = 2Card(E)
Remarque: P(∅) = {∅}
car Card(∅) = 0 et Card({∅}) = 2Card(∅) = 20 = 1
Dernière édition par Thomas le Jeu 13 Oct - 12:53, édité 1 fois
Re: [Ch2] Ensembles
V]Recouvrement et partition:
- Recouvrement:
Définition: Soit E un ensemble.
On appelle recouvrement de E tout sous-ensemble de P(E) dont la réunion des éléments contient E.
exemple: E = {1;2;3;4;5}
R1 = {{1}; {1;2;3}; {3;4;5}} est un recouvrement de E
{1} ∪ {1;2;3} ∪ {3;4;5} = E - Partition:
Définition: Soit E un élément.
On appelle partition de E tout recouvrement de E dont les éléments sont 2 à 2 disjoints (intersection vide) et ne contient pas ∅.
exemple: E = {1;2;3;4;5}
P1 = {{1}; {2;3}; {4;5}}
P2 = {{1;2}; {3}; {4;5}}
Dernière édition par Thomas le Jeu 13 Oct - 12:53, édité 2 fois
Re: [Ch2] Ensembles
VI]Quantificateurs:
Quantificateur universel:
Soit E un ensemble, P(x) un prédicat d'univers E.
On note ∀x ∈ E, P(x); on lit "pour tout x élément de E" ou "quelque soit x appartenant à E", la proposition: tout élément de E vérifie P(x).
∀ x ∈ F, x est entier -> vrai
∀ x ∈ P+, x est un multiple de 4 -> faux
Quantificateur existentiel:
Soit E un ensemble, P(x) un prédicat d'univers E.
On note ∃ x ∈ E, P(x); on lit "il existe x appartenant à E, P(x)", la proposition: l'un (au moins) des éléments de E vérifie P(x).
∃ x ∈ F, x est entier -> vrai
∃ x ∈ P+, x est un multiple de 4 -> vrai
∃ x ∈ R, x²< 0 -> faux
Unicité:
Soit E un univers, P(x) un prédicat d'univers E.
On note ! x ∈ E, P(x) la proposition: au plus, un élément de E vérifie P(x).
! x ∈ F, x<14 -> vrai
! x ∈ R, x²<0 -> vrai
! x ∈ P+, x multiple de 4 -> faux
Négation:
Soit E un ensemble, P(x) un prédicat d'univers E.
¬(∀ x ∈, P(x)) ⇔ ∃ x ∈E, ¬P(x)
¬(∃ x ∈, P(x)) ⇔ ∀ x ∈E, ¬P(x)
exemple:
Ordre et quantification:
Soit E et F deux ensembles, P(x;y) un prédicat d'univers E x F.
(∀ x ∈ E)(∀ y ∈ F), P(x;y) ⇔ (∀ x ∈ E)(∀ y ∈ F), P(x;y)
(∃ x ∈ E)(∃ y ∈ F), P(x;y) ⇔ (∃ x ∈ E)(∃ y ∈ F), P(x;y)
En revanche: on ne peut pas changer l'ordre si on a un quantificateur universel et un quantificateur existentiel.
exemple: E = {1;2;3}
F = ℝ
P(x;y): x+y = 10
(∀ x ∈ E)(∃ y ∈ ℝ), x+y=10 -> vrai
(∀ x ∈ ℝ)(∃ y ∈ E), x+y=10 -> faux
- Prédicat:
Soit E un ensemble, P(x) une affirmation devenant une proposition (vraie ou fausse) dès que l'on remplace x par un élément de E.
P(x) est appelé prédicat d'univers E.
exemple: F = {1;2;3}
P+ = {0;2;4;6;8;10;10;...} - Soit le prédicat d'univers F P1 est un entier.
P(1) vrai, P(2) vrai et P(3) vrai. - Soit le prédicat d'univers P+, P(x)=x est un multiple de 4.
P(2) faux, P(12) vrai.
Soit E un ensemble, P(x) un prédicat d'univers E.
On note ∀x ∈ E, P(x); on lit "pour tout x élément de E" ou "quelque soit x appartenant à E", la proposition: tout élément de E vérifie P(x).
Soit E un ensemble, P(x) un prédicat d'univers E.
On note ∃ x ∈ E, P(x); on lit "il existe x appartenant à E, P(x)", la proposition: l'un (au moins) des éléments de E vérifie P(x).
Soit E un univers, P(x) un prédicat d'univers E.
On note ! x ∈ E, P(x) la proposition: au plus, un élément de E vérifie P(x).
Soit E un ensemble, P(x) un prédicat d'univers E.
¬(∀ x ∈, P(x)) ⇔ ∃ x ∈E, ¬P(x)
¬(∃ x ∈, P(x)) ⇔ ∀ x ∈E, ¬P(x)
exemple:
Soit E et F deux ensembles, P(x;y) un prédicat d'univers E x F.
(∀ x ∈ E)(∀ y ∈ F), P(x;y) ⇔ (∀ x ∈ E)(∀ y ∈ F), P(x;y)
(∃ x ∈ E)(∃ y ∈ F), P(x;y) ⇔ (∃ x ∈ E)(∃ y ∈ F), P(x;y)
En revanche: on ne peut pas changer l'ordre si on a un quantificateur universel et un quantificateur existentiel.
exemple: E = {1;2;3}
F = ℝ
P(x;y): x+y = 10
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