[Ch3] Relations

[Arthur - TitrOu]

I/ Caractérisation :

Une relation est définie par un ensemble de départ E, un ensemble d'arrivé F et un sous ensemble de ExF appelé graphe de la relation.
Soit R une relation, xєE, yєF, on note xRy (x est en relation avec y) lorsque (x,y) є Gr où Gr est la graphe de la relation R.

Exemple : E = {1; 2; 3} F={4; 10; 12} et R la relation de E dans F défini par (∀ x є E), (∀ y є F), xRy <=> x+y < 12
Gr = {(1;4); (1;10); (2;4); (3;4)}

Vocabulaire :

Soit R une relation d'ensemble de départ E, d'ensemble d'arrivé F, et de graphe G. Lorsque xRy (ou x є G) on dit que G est l'image de x par R où x est un antécédent de G par R.

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II/ Représentation :

Il existe de nombreuses façon de représenter une relation d'ensemble de départ et d'arrivé de cardinaux finis.

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III/ Relation inverse

Soit E et F deux ensembles, R une relation de E dans F. on note R^-1 et on appelle relation inverse de R la relation de F dans E définie par :

- (∀ x є F), (∀ y є E), xR^-1y <=> yRx .

Exemple :

1)

2) E = {1; 2; 3} F={1; 2; 3; 4; 5; 6}

S la relation de E dans F définie par (∀ x є E), (∀ y є F), xSy <=> x²=y

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IV/ Composée de relations :

Soit E,F et G trois ensembles. R₁ une relation de E dans F et R₂ une relation de F dans G.

Alors on note R₂oR₁ la composée des relations définie par :

R₂oR₁ E --> G (E ensemble de départ et G ensemble d'arrivée).

∀(x;y) є ExG, x(R₂oR₁)z <=> ∃y є F . {xR₁y et yR₂z

Exemple :

G^R₁ : { (a;1); (a;2); (c;4) }
G^R₂ : { (1;t); (3;x); (3;y); (4;t) }
G^R₂oR₁ : { (a;t); (c;t) }

Propriété : La composition de relation est associative

Soit E, F, G et H, 4 ensembles, R₁ (respectivement R₂ et R₃) une relation de E dans F (respectivement de F dans G et G dans H)

R₃o(R₂oR₁) = (R₃oR₂)oR₁

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V/ relations dans un ensemble :

Soit E un ensemble, R une relation dans E² (de E dans E)

• a/ Réflexibilité :
  
  Def : On dit que R est Reflexive si et seulement si ∀x є E, xRx (Pour tout x appartenant à E, x est en relation avec x).
  
  Exemple :
  
  1) R₁ définir dans ℤ par ∀(x;y) є ℤ², xRy <=> x²=y²
  ∀x є ℤ, x²=x² => ∀x є ℤ, xRx => R₁ réflexive.
  
  2) R₂ dans ℤ: ∀(x;y) є ℤ, xR₂y <=> x³=y
  ∃2 є ℤ, 2³ ≠ 2 => ∃2 є ℤ, 2R₂2 : R₂ non réflexive.
  
  
• b/ Symétrie
  
  Def : On dit que R est symétrique si et seulement si ∀(x;y) є E², (xRy => yRx).
  
  Exemples:
  
  1/
  
  Est une relation symétrique
  
  2/ R₁ dans ℤ, ∀(x;y) є ℤ², xR₁y <=> x²=y²
  ∀(x;y) є ℤ², {xRy => x²=y² => y²=x² => yR₁x} R₁ symétrique.
  
  3/ La relation ⩽ dans ℤ:
  ∃(x;y) є ℤ², 2<5 et 5>2
  ∀(x;y) є ℤ², 2⩽5 => 5⩽2 Non symétrique.
  
  
• c/ Antisymétrie
  
  Def : on dit que R est antisymétrique si et seulement si ∀(x;y) є E², {(xRy et yRx) => (x=y).
  
  Exemples :
  
  
  
  
  
  
• d/ Transitivité
  
  Def : on dit que R est transitive si et seulement si ∀(x;y;z) є E³, {(xRy et yRz) => xRz.
  
  Exemples :
  
  1/ La relation ⩽ dans ℝ est transitive
  ∀(x;y;z) є ℝ³, {( x⩽y et y⩽z) => x⩽z
  
  2/ Dans ℤ, xRy <=> x+g = 3
  ∃(1;2;1) єℤ³, { (1R2 et 2R1) et 1¬R1 : R non transitive.

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