[Ch2] Ensembles

[Thomas]

Les ensembles:

I]Caractérisations et inclusions:

1. Un ensemble peut être (parfois) défini de plusieurs façon, entre-autre:
   
   
   1. En extension: en "citant" ses éléments:
      exemples:
      1. F = {1;2;3}
         
      2. P₊ = {0;2;4;6;8;10;...}
      
      
      
   2. En compréhension: par une propriété:
      exemples:
      1. F = {x ∈ ℕ; 0 < x < 4}
         
      2. P₊ = {2n; n ∈ ℕ}
         
      3. ℝ = {-∞; +∞}
      
      
      
   3. Par notation: Soit E un ensemble, on note x ∈ E et on lit "x appartient à E" lorsque x est un élément de E:
      exemples:
      1. 2 ∈ F et 2 ∈ P₊
         
      2. 6 ∉ F et 6 ∉ P₊
         
   
   
   
2. Ensembles usuels
   
   1. On note ∅ ou {} l'ensemble vide, qui ne contient aucun éléments.
      
      
   2. ℕ l'ensemble des entiers naturels: ℕ = {1;2;3;4...}
      ℤ l'ensemble des entiers relatifs: ℤ = {...; -3; -2; -1;0;1;2;3;...}
      ℚ l'ensemble des rationnels: -1/4 = -0,25 ∈ ℚ
      ℝ l'ensemble des réels: pi ∈ ℝ tout comme √2 ∈ ℝ
      ℂ l'ensemble des nombres complexes: représentés par a+ib avec i ∈ ℂ
      
   
   
   
3. Inclusion:
   Notation et définition: Soient A et B deux ensembles.
   On note A ⊂ B et on dit que "A est inclus dans B" ou "B contient A" si tout élément de A est aussi un élément de B.
   exemple: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ
   
   

[Thomas]

II]Opérateurs:
Soit E un ensemble et A, B et C trois sous-ensembles de E

1. Complémentaire:
   On appelle complémentaire de A dans E et on note C_E(A) ou C(A),
   l'ensemble défini par: C_E(A) = {x ∈ E; x ∉ A}
   
   
2. Intersection:
   On appelle intersection de A et B, on note A ⋂ B et on lit "A inter B" l'ensemble des éléments appartenant à A et à B.
   
   
3. Réunion:
   On appelle intersection des ensembles A et B, on note A ∪ B et on lit "A union B" l'ensemble des éléments appartenant à A ou à B.
   
   
4. Différence:
   On note A\B ou A - B et on lit "A privé de B" ou "A moins B" l'ensemble des éléments qui appartiennent à A et non à B.
   A\B = {x ∈ E; x ∈ A et x ∉ B}
   
   
5. Différence symétrique:
   On appelle différence symétrique des ensembles A et B, on note AΔB ou A⊕B.
   A⊕B = A Δ B = A ∪ B - A ⋂ B
   
   propriété: A Δ B = (A\B) ∪ (B\A) ou A Δ B = (A∪B) \ (B∪A)
   
   
6. Propriété caractéristique du complémentaire:
   B = ¬A <=> A ⋂ B = ∅ et A ∪ B = E
   
   
7. Propriété de la réunion et de l'intersection:
   
   1. Commutativité:
      
   2. Associativité:
      
      
   3. Distributivité:
      
      
   4. Idem potence
      
      
   5. Absorption:
      
      
   6. De Morgan:
      
      
   7. Etc:
      
      
   
   
   
   

[Thomas]

III]Produit cartésien:
Soient A et B deux ensembles.
Définition et notation: on appelle produit cartésien de A par B et on note AxB l'ensemble des couples dont le premier composant appartient à A et le deuxième appartient à B.
A x B = {{x;y}; x ∈ A et y ∈ B}
ℝ x ℝ = ℝ² = {{x;y}; x ∈ ℝ et y ∈ ℝ}

Remarque: le produit cartésien n'est pas commutatif.


Cardinal: propriété: si A et B sont deux ensembles finis.
alors Card(A x B) = Card(A) x Card(B)
x -> produit cartésien
x -> multiplication

[Thomas]

IV]Ensemble des parties d'un ensemble:
Soit E un ensemble.
On appelle ensemble des parties de E et on note P(E) l'ensemble des sous-ensembles de E
exemple: B = {a;b;c}
P(B) = {∅; {a}; {b}; {c}, {a;b}; {a;c}; {b;c}; B}

propriété: Si E est un ensemble fini (de cardinal fini),
alors Card[P(E)] = 2^Card(E)

Remarque: P(∅) = {∅}
car Card(∅) = 0 et Card({∅}) = 2^Card(∅) = 2⁰ = 1

[Thomas]

V]Recouvrement et partition:

1. Recouvrement:
   Définition: Soit E un ensemble.
   On appelle recouvrement de E tout sous-ensemble de P(E) dont la réunion des éléments contient E.
   exemple: E = {1;2;3;4;5}
   R₁ = {{1}; {1;2;3}; {3;4;5}} est un recouvrement de E
   {1} ∪ {1;2;3} ∪ {3;4;5} = E
   
   
2. Partition:
   Définition: Soit E un élément.
   On appelle partition de E tout recouvrement de E dont les éléments sont 2 à 2 disjoints (intersection vide) et ne contient pas ∅.
   exemple: E = {1;2;3;4;5}
   P₁ = {{1}; {2;3}; {4;5}}
   P₂ = {{1;2}; {3}; {4;5}}
   

[Thomas]

VI]Quantificateurs:

1. Prédicat:
   Soit E un ensemble, P(x) une affirmation devenant une proposition (vraie ou fausse) dès que l'on remplace x par un élément de E.
   P(x) est appelé prédicat d'univers E.
   exemple: F = {1;2;3}
   P₊ = {0;2;4;6;8;10;10;...}
   
   1. Soit le prédicat d'univers F P₁ est un entier.
      P(1) vrai, P(2) vrai et P(3) vrai.
      
   2. Soit le prédicat d'univers P₊, P(x)=x est un multiple de 4.
      P(2) faux, P(12) vrai.
      
   
   
   
2. Quantificateur universel:
   Soit E un ensemble, P(x) un prédicat d'univers E.
   On note ∀x ∈ E, P(x); on lit "pour tout x élément de E" ou "quelque soit x appartenant à E", la proposition: tout élément de E vérifie P(x).
   
   1. ∀ x ∈ F, x est entier -> vrai
      
   2. ∀ x ∈ P₊, x est un multiple de 4 -> faux
      
   
   
   
3. Quantificateur existentiel:
   Soit E un ensemble, P(x) un prédicat d'univers E.
   On note ∃ x ∈ E, P(x); on lit "il existe x appartenant à E, P(x)", la proposition: l'un (au moins) des éléments de E vérifie P(x).
   
   1. ∃ x ∈ F, x est entier -> vrai
      
   2. ∃ x ∈ P+, x est un multiple de 4 -> vrai
      
   3. ∃ x ∈ R, x²< 0 -> faux
      
   
   
   
4. Unicité:
   Soit E un univers, P(x) un prédicat d'univers E.
   On note ! x ∈ E, P(x) la proposition: au plus, un élément de E vérifie P(x).
   
   1. ! x ∈ F, x<14 -> vrai
      
   2. ! x ∈ R, x²<0 -> vrai
      
   3. ! x ∈ P₊, x multiple de 4 -> faux
      
   
   
   
5. Négation:
   Soit E un ensemble, P(x) un prédicat d'univers E.
   ¬(∀ x ∈, P(x)) ⇔ ∃ x ∈E, ¬P(x)
   ¬(∃ x ∈, P(x)) ⇔ ∀ x ∈E, ¬P(x)
   exemple:
   1. 
      
   
   
   
6. Ordre et quantification:
   Soit E et F deux ensembles, P(x;y) un prédicat d'univers E x F.
   (∀ x ∈ E)(∀ y ∈ F), P(x;y) ⇔ (∀ x ∈ E)(∀ y ∈ F), P(x;y)
   (∃ x ∈ E)(∃ y ∈ F), P(x;y) ⇔ (∃ x ∈ E)(∃ y ∈ F), P(x;y)
   En revanche: on ne peut pas changer l'ordre si on a un quantificateur universel et un quantificateur existentiel.
   exemple: E = {1;2;3}
   F = ℝ
   P(x;y): x+y = 10
   
   1. (∀ x ∈ E)(∃ y ∈ ℝ), x+y=10 -> vrai
      
   2. (∀ x ∈ ℝ)(∃ y ∈ E), x+y=10 -> faux
      
   
   

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